【题目】已知函数,点
分别在
的图象上.
(1)若函数在
处的切线恰好与
相切,求
的值;
(2)若点的横坐标均为
,记
,当
时,函数
取得极大值,求
的范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)利用导数求解出函数在
处的切线方程,联立方程组,利用判别式,即可求解
的值;(2)由
,得出函数的解析式
,利用导数等于零,
,设
,再由存在唯一的
,使得
,在分三种情况分类讨论,即可求解
的范围.
试题解析:(1)由,∴在
即切点为
处的切线斜率
,
即切线为,
∴联立,得
,
由相切得,
解得
(2),
∴,
∴,
由取得极值,则
或
,
∴,令
,该函数在
上单调递增,
∴存在唯一的,使得
,
①若,则
0 | |||||
- | 0 | + | 0 | - | |
递减 | 极小 | 递增 | 极大 | 递减 |
此时时为极小值;
②若,则
- | - | |
递减 | 递减 |
此时时无极小值;
③若,则
0 | |||||
- | 0 | + | 0 | - | |
递减 | 极小值 | 递增 | 极大值 | 递减 |
此时时为极大值,
综上所述必须,,而
在
上单调递增,
故
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【题目】某超市经营一批产品,在市场销售中发现此产品在30天内的日销售量P(件)与日期)之间满足
,已知第5日的销售量为55件,第10日的销售量为50件。
(1)求第20日的销售量; (2)若销售单价Q(元/件)与的关系式为
,求日销售额
的最大值。
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【题目】如图,公园有一块边长为的等边
的边角地,现修成草坪,图中
把草坪分成面积相等的两部分,
在
上,
在
上.
(1)设(
),
,求用
表示
的函数关系式;
(2)如果是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,
的位置应在哪里?如果
是参观线路,则希望它最长,
的位置又应在哪里?请说明理由.
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【题目】若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时,则视为合格品,否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5000件进行检测,结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm),将所得数据分组,得到如下频率分布表:
分 组 | 频 数 | 频 率 |
[-3,-2) | 0.10 | |
[-2,-1) | 8 | |
(1,2] | 0.50 | |
(2,3] | 10 | |
(3,4] | ||
合计 | 50 | 1.00 |
(1)将上面表格中缺少的数据填充完整.
(2)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率.
(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品.据此估算这批产品中的合格品的件数.
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【题目】某校高二(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,且将全班25人的成绩记为由右边的程序运行后,输出
.据此解答如下问题:
(Ⅰ)求茎叶图中破损处分数在[50,60),[70,80),[80,90)各区间段的频数;
(Ⅱ)利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的众数,中位数分别是多少?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中, 以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知点
的极坐标为
,曲线
的参数方程为
为参数).
(1)直线过
且与曲线
相切, 求直线
的极坐标方程;
(2)点 与点
关于
轴对称, 求曲线
上的点到点
的距离的取值范围.
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【题目】中国象棋中规定:马走“日”字,象走“田”字.如下图,在中国象棋的半个棋盘(的矩形中每个小方格都是单位正方形)中,若马在
处,可跳到
处,也可跳到
处,用向量
,
表示马走了“一步”.通过探究,你能在图中画出马在
处走了一步的所有情况吗?
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