Question

如图所示，多面体中，是梯形，，是矩形，平面平面，，.

（1）求证：平面；
（2）若是棱上一点，平面，求；
（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

（1）见解析   （2）. （3）.

(1)易证：，再根据平面ACFE平面ABCD,利用面面垂直的性质定理转化为.
(2)连接BD，交AC于O点，若则.从而再根据O的位置确定M的位置求出EM的长度.
(3)以C为原点，CA、CB、CF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz,然后分别求出平面BEF和平面EFD的法向量，利用向量法求二面角B-EF-D的平面角的余弦值
（1）平面，，从而.又因为面，平面平面，所以平面.
（2）连接，记，在梯形中，因为，，所以，，，从而.又因为，，所以.连接，由平面得，因为是矩形，所以.
（3）以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，则有，即，解得.
同理可得平面的一个法向量为，观察知二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为.