Question

已知关于x的一元二次方程f（x）=ax²-4bx+1
（1）设集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P，Q中随机取一个数为a和b，求函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率
（2）设点（a，b）是区域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

内的随机点，设A={f（1）＜0}，求事件A发生的概率．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）根据古典概率的概率公式进行计算即可求出概率．
（Ⅱ）根据几何概型的概率公式进行计算即可．

解答： 解（Ⅰ）∵函数f（x）=ax²-4bx+1的图象的对称轴为x=

2b

a

，
要使f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
当且仅当a＞0且x=

2b

a

≤1，
即2b≤a．
若a=1，则b=-1；
若a=2，则b=-1，1；
若a=3，则b=-1，1，
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为

5

15

=

1

3

．
（Ⅱ）由（1）知当且仅当2b≤a．且a＞0时，
函数f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}
构成所求事件的区域为三角形部分对应的面积S=

1

2

×8×8=32．
事件A满足{（a，b）|

a+b-8≤0 a＞0，b＞0 f(1)＜0

}={（a，b）|

a+b-8≤0 a＞0，b＞0 a-4b+1＜0

}，
由

a+b-8=0 a-4b+1=0

，解得a=

31

5

，b=

9

5

，即交点坐标（

31

5

，

9

5

），
则对应三角形的面积S=

1

2

×(8-

1

4

)×

31

5

=

961

40

，
则所求事件的概率为P=

961 40

32

=

961

1280

．

点评：本题只要考查概率的求法，要求熟练掌握古典概型和几何概型的概率公式，注意它们之间的联系和区别．