Question

【题目】二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R，a≠0）满足条件：
①当x∈R时，f（x）的图象关于直线x=﹣1对称；②f（1）=1；③f（x）在R上的最小值为0；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）的对称轴为x=﹣1，

∴ =﹣1，即b=2a

又f（1）=1，即a+b+c=1

由条件③知：a＞0，且 ，即b2=4ac

由上可求得

∴

（2）解：由（1）知： ，图象开口向上．

而y=f（x+t）的图象是由y=f（x）平移t个单位得到，要x∈[1，m]时，f（x+t）≤x

即y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大．

∴1，m应该是y=f（x+t）与y=x的交点横坐标，

即1，m是 的两根，

由1是 的一个根，得（t+2）2=4，解得t=0，或t=﹣4

把t=0代入原方程得x1=x2=1（这与m＞1矛盾）

把t=﹣4代入原方程得x2﹣10x+9=0，解得x1=1，x2=9∴

m=9

综上知：m的最大值为9

【解析】（1）利用条件①②③，可确定解析式中的参数，从而可得函数f（x）的解析式；（2）y=f（x+t）的图象是由y=f（x）平移t个单位得到，要x∈[1，m]时，f（x+t）≤x即y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数在闭区间上的最值的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减；当时，当时，；当时在上递减，当时，才能正确解答此题．