Question

【题目】已知椭圆经过点，点是椭圆上在第一象限的点，直线 交轴于点，直线交轴于点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；

（Ⅱ）是否存在点，使得直线 与直线平行？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ， ；(2)存在， .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆经过点，可得，从而可得，；进而可得椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）假设存在点，使得直线与直线平行.

设，设出直线、直线的方程，求出、的坐标，根据，可得结果.

试题解析：（Ⅰ）依题意设所求椭圆方程为.

因为椭圆经过点，

所以.

所以

所求椭圆的标准方程为，离心率.

（Ⅱ）存在点，使得直线与直线平行.

设.

则，即.

因为

所以

令则.

所以.

因为，

所以.

令则.

所以.

所以.

若直线与直线平行，那么.

因为，

所以.

即 .

所以.

所以.

即.

因为,

所以.

所以》

所以.

所以

所以.