Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+4}{x}$；
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）证明f（x）在区间（0，2）上为减函数．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义即可证明，
（2）根据单调性的定义即可证明．

解答 证明：（1）f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），
f（-x）=$\frac{{x}^{2}+4}{-x}$=-f（x），
故函数f（x）是奇函数；
（2）f（x）=x+$\frac{4}{x}$，
设x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+4（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1-$\frac{4}{{x}_{1}•{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}•{x}_{2}-4}{{x}_{1}•{x}_{2}}$，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂＜4，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在区间（0，2）上为减函数

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性的证明，掌握定义是关键，属于基础题．