Question

19．葫芦岛市有4个重要旅游景点：a是葫芦山庄，b是兴城古城，c是菊花岛，d是九门口，现有A，B，C，D四位游客来葫游玩．
（1）假定他们每人只游览一个景点，且游览每个景点都是随机的．求四人游览同一景点的概率；
（2）假定原计划A只游览a，B只游览b，C只游览c，D只游览d．
①在（1）之下，求这四人恰有两人完成原计划的概率；
②若每人只游览一个景点，每个景点只能一人游览，
求这四人至少有一人完成原计划的概率．

Answer 1

分析 （1）依题意知这四人随意游览四个景区的所有可能种数是n=4⁴=256种，若四人游览同一景点，由只有4种可能，由此能求出这四人恰有两人完成原计划的概率．
（2）①依题意知这四人随意游览四个景点的所有可能种数是n=256种，若四人中只有两人完成原计划，由不同可能种数是m₂=6×9=54种，由此能求出每人只游览一个景点，每个景点只能一人游览．
②若每个景点只能一人游览，则所有可能种数是${n}_{1}={A}_{4}^{4}$=24种，至少有一人完成原计划的对立事件是这四人没有任何一人完成原计划，由此能求出这四人至少有一人完成原计划的概率．

解答 解：（1）依题意知这四人随意游览四个景区的所有可能种数是拿n=4⁴=256种，
若四人游览同一景点，由只有4种可能，
∴四人游览同一景点的概率p₁=$\frac{4}{256}=\frac{1}{64}$．
（2）①依题意知这四人随意游览四个景点的所有可能种数是n=256种，
若四人中只有两人完成原计划，由不同可能种数是m₂=6×9=54种，
∴这四人恰有两人完成原计划的概率p₂=$\frac{{m}_{2}}{n}$=$\frac{54}{256}=\frac{27}{128}$．
②若每个景点只能一人游览，则所有可能种数是${n}_{1}={A}_{4}^{4}$=24种，
至少有一人完成原计划的对立事件是这四人没有任何一人完成原计划，
而没有任何一人完成原计划的不同可能为9种，
∴这四人至少有一人完成原计划的概率p₃=1-$\frac{9}{24}=\frac{5}{8}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．