Question

4．已知a=${∫}_{\frac{1}{e}}^{e}$${\frac{1}{x}$dx，则二项式（1-$\frac{a}{x}}$）⁵的展开式中x^-3的系数为-80．

Answer 1

分析 a=${∫}_{\frac{1}{e}}^{e}$${\frac{1}{x}$dx=$lnx{|}_{\frac{1}{e}}^{e}$=2，再利用二项式定理的通项公式即可得出．

解答 解：a=${∫}_{\frac{1}{e}}^{e}$${\frac{1}{x}$dx=$lnx{|}_{\frac{1}{e}}^{e}$=2，
则二项式（1-$\frac{a}{x}}$）⁵=$（1-\frac{2}{x}）^{5}$的展开式的通项：T_r+1=${∁}_{5}^{r}（-\frac{2}{x}）^{5-r}$=（-2）^5-r${∁}_{5}^{r}$x^r-5．
令r-5=-3，解得r=2．
∴展开式中x^-3的系数=$（-2）^{3}×{∁}_{5}^{2}$=-80．
故答案为：-80．

点评 本题考查了微积分基本定理、二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．