Question

13．设函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，x∈R，a为常数；
（1）当a=1时，判断f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）是R上的增函数．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）是R上的增函数．

解答 （1）解：a=1时，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-f（x），
f（x）是奇函数；
（2）证明如下：对任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
则函数f（x）为增函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及不等式恒成立问题，根据奇函数的性质，利用函数单调性和奇偶性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．