【题目】已知:正三棱柱中,
,
,
为棱
的中点.
()求证:
平面
.
()求证:平面
平面
.
()求四棱锥
的体积.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】试题分析:
(1)要证线面平行,就是要证线线平行,考虑过直线的平面
与平面
的交线
(其中
是
与
的交点),而由中位线定理易得
,从而得线面平行;
(2)由于是正三角形,因此有
,从而只要再证
与平面
内另一条直线垂直即可,这可由正棱柱的侧棱与底面垂直得到,从而得线面垂直,于是有面面垂直;
(3)要求四棱锥的体积,由正三棱柱的性质知中,边
的高就是四棱锥的高,再求得四边形
的面积,即可得体积.
试题解析:
()证明:连接
,交
于
点,连接
,
∵在中,
,
分别是
,
中点,
∴,
∵平面
,
平面
,
∴平面
,
()证明:∵在等边
中,
是棱
中点,
∴,
又∵在正三棱柱中,
平面
,
平面
,
∴,
∵点,
,
平面
,
∴平面
,
∵平面
,
∴平面平面
.
()作
于
点,
∴是四棱锥
高,
,
底面积,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆,直线
与圆
相切,且交椭圆
于
,
两点,
是椭圆的半焦距,
.
(1)求的值;
(2)为坐标原点,若
,求椭圆
的方程;
(3)在(2)的条件下,设椭圆的左右顶点分别为
,
,动点
,直线
,
与直线
分别交于
,
两点,求线段
的长度的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知两条不重合的直线和两个不重合的平面
,若
,则下列四个命题:①若
,则
;②若
,则
; ③若
,则
;④若
,则
,其中正确命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设点,动圆
经过点
且和直线
相切,记动圆的圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)设曲线上一点
的横坐标为
,过
的直线交
于一点
,交
轴于点
,过点
作
的垂线交
于另一点
,若
是
的切线,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校随机抽取100名学生调查寒假期间学生平均每天的学习时间,被调查的学生每天用于学习的时间介于1小时和11小时之间,按学生的学习时间分成5组:第一组,第二组
,第三组
,第四组
,第五组
,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求学习时间在的学生人数;
(2)现要从第三组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人,从这6人中随机抽取2人交流学习心得,求这2人中至少有1人学习时间在第四组的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若函数y=x2+(a+2)x﹣3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称.
(1)求a、b的值和函数的零点
(2)当函数f(x)的定义域是[0,3]时,求函数f(x)的值域..
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】根据国家环保部最新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米。某城市环保部分随机抽取的一居民区过去20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:
组别 | PM2.5平均浓度 | 频数 | 频率 |
第一组 | (0,25] | 3 | 0.15 |
第二组 | (25,50] | 12 | 0.6 |
第三组 | (50,75] | 3 | 0.15 |
第四组 | (75,100] | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(II)求样本平均数,并根据样本估计总计的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?并说明理由.
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