Question

【题目】设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设曲线上一点的横坐标为，过的直线交于一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）先利用抛物线的定义判定动点轨迹是一个抛物线，再利用待定系数法求出抛物线的方程；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和导数的几何意义进行求解.

试题解析：(1)过点作直线垂直于直线于点，由题意得，所以动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.所以抛物线得方程为.

(2)由题意知，过点的直线斜率存在且不为，设其为，则，当，则.联立方程，整理得： .即，解得或， ，而，所以直线斜率为， ，联立方程，整理得： ，即，解得，或..

而抛物线在点的切线斜率， ， 是抛物线的切线， ，整理得，解得（舍去），或.