Question

【题目】已知二次函数，关于的不等式的解集为，，设．

（）求的值．

（）如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点．

（）若，且，求证：．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：（1）根据二次不等式解集与二次方程根的关系可得，解得的值．（2）先求导数，再研究导函数零点：没有零点就没有极值点，有零点但不在定义区间，也不是零点；零点在定义区间且附近导函数变号才是零点；（3）先根据二项展开式化简不等式左边式子，并根据基本不等式放缩，再根据倒序相加法求中间的和，利用基本不等式放缩即得结论.

试题解析：（）因为关于的不等式的解集为，

即不等式的解集为，

所以，

所以，

所以，所以．

（）由（）得，

所以的定义域为，

所以，

方程（*）的判别式

．

①当时，，方程（*）的两个实根为，，

则时，；时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数有极小值点．

②当时，由，得或，若，

则，，故时，，

所以函数在上单调递增．所以函数没有极值点，

若时，，，

则时，；时，；时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以函数有极小值点，有极大值点，

综上所述，当时，取任意实数，函数有极小值点，

当时，，函数有极小值点，有极大值点，

（其中，）．

（）因为，所以，

所以，

令，

则，

因为，所以

，

所以，即．