Question

【题目】已知是抛物线的焦点，关于轴的对称点为，曲线上任意一点满足；直线和直线的斜率之积为.

（1）求曲线的方程；

（2）过且斜率为正数的直线与抛物线交于两点，其中点在轴上方，与曲线交于点，若的面积为的面积为，当时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】【试题分析】(1)根据焦点求得的值和的坐标,设利用建立方程,化简后得到曲线的轨迹方程,注意排除分母为零的点.(2)设出直线的方程,将直线方程代入曲线的方程,求得的坐标,根据面积比求得点的坐标,将点的坐标代入抛物线方程,可求得直线的斜率,即求出直线的方程.

【试题解析】

（1）由题意可知：，设曲线上任意一点坐标，则：

，又，∴，

整理得：，所以曲线的方程为：；

（2）是抛物线的焦点，∴，则抛物线的方程为，

设直线的方程为，将直线的方程代入曲线方程，整理得：，∴，∴，

∴，又因为，可得：，∴，

又因为在抛物线上，，整理得：，

又，∴，∴直线的方程为：，