Question

【题目】已知椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;

(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

Answer 1

【答案】(1)=1,点T的坐标为(2,1)；(2)存在常数λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.

【解析】试题分析：

（1）由题意得椭圆E中a=b，故椭圆E的方程为=1．把y=-x+3与椭圆E的方程联立消元后得到二次方程，由直线与椭圆有且只有一个公共点得到方程的判别式为0，可得b2=3，且得到方程的解为x=2，进而得到点T的坐标．（2）设直线l'的方程为y=x+m，并求出直线l'与直线l的交点P，可得；再根据直线l'与椭圆的方程可得|PA|=，|PB|=，计算可得|PA|·|PB|=m2，比较可得存在常数λ=，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|．

试题解析：

(1)∵椭圆E的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，

∴a=b，

∴椭圆E的方程为=1．

由消去y整理得3x212x+(182b2)=0． ①

方程①的判别式为Δ=24(b23)，

由Δ=0，得b2=3，

此时方程①的解为x=2，

∴椭圆E的方程为=1，点T的坐标为(2，1)．

(2)由已知可设直线l'的方程为y=x+m(m≠0)，

由方程组可得

∴点P的坐标为，

∴．

由消去y整理得3x2+4mx+(4m212)=0． ②

方程②的判别式为Δ=16(92m2)．

由Δ>0，得<m<．

设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．

则x1+x2=，x1x2=．

∴|PA|==，

同理|PB|=．

∴|PA|·|PB|==

=m2．

由|PT|2=λ|PA|·|PB|可得λ=．

∴存在常数λ=，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|．