Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

3

2

，长轴长为4

5

，直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）若直线l不经过椭圆上的点M（4，1），求证：直线MA，MB的斜率互为相反数．

Answer 1

（Ⅰ）椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

3

2

，长轴长为4

5

，
∴2a=4

5

，e=

c

a

=

3

2

，
解得a=2

5

，c=

15

，b=

5

，
∴椭圆方程为

x2

20

+

y2

15

=1．…（4分）
（Ⅱ）将y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1，并整理，得：
5x²+8mx+4m²-20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，
∴△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，
解得-5＜m＜5，
∴m的取值范围是（-5，5）．
（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，
设A（x1，y1），B（x₂，y₂），则由（Ⅱ）得x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

，
k₁+k₂=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

，
∵分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=

2(4m2-20)

5

-

8m(m-5)

5

-8(m-1)=0，
∴k₁+k₂=0，
∴直线MA，MB的斜率互为相反数．