Question

14．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n，公比为q，a₁＞0，a₂S₂=2，a₄S₄=40（n∈N^*）
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）若q＜0，记数列{a_nS_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）由a₂S₂=2，a₄S₄=40（n∈N^*），可得${a}_{1}^{2}q（1+q）$=2，${a}_{1}^{2}$q²（1+q+q²+q³）=40，解出即可得出．
（II）由q＜0，a₁＞0，可得q=-2，a₁=1，a_n=（-2）^n-1，S_n=$\frac{1-（-2）^{n}}{3}$．a_nS_n=$\frac{（-2）^{n-1}-（-2）^{2n-1}}{3}$，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a₂S₂=2，a₄S₄=40（n∈N^*），
∴${a}_{1}^{2}q（1+q）$=2，${a}_{1}^{2}$q²（1+q+q²+q³）=40，
可得：q²（1+q²）=20，解得q=±2．
（II）∵q＜0，a₁＞0，∴q=-2，a₁=1，
∴a_n=（-2）^n-1，S_n=$\frac{1-（-2）^{n}}{1-（-2）}$=$\frac{1-（-2）^{n}}{3}$．
∴a_nS_n=$\frac{（-2）^{n-1}-（-2）^{2n-1}}{3}$，
数列{（-2）^n-1}的前n项和=1+（-2）+（-2）²+…+（-2）^n-1=$\frac{1-（-2）^{n}}{1-（-2）}$=$\frac{1-（-2）^{n}}{3}$；
数列{2^2n-1}的前n项和=2+2³+…+2^2n-1=$\frac{2[{4}^{n}-1]}{4-1}$=$\frac{2（{4}^{n}-1）}{3}$．
∴数列{a_nS_n}的前n项和为T_n=$\frac{\frac{1-（-2）^{n}}{3}+\frac{2（{4}^{n}-1）}{3}}{3}$=$\frac{{2}^{2n+1}-（-2）^{n}-1}{9}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．