Question

19．已知函数$f（x）=x+\frac{a}{x}+b（x≠0）$，其中a，b∈R．若对于任意的$a∈[{\frac{1}{2}，2}]$，不等式f（x）≤10在$x∈[{\frac{1}{4}，\sqrt{3}}]$上恒成立，则b的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，\frac{7}{4}}]$
• B． $（{-∞，10-\frac{5}{3}\sqrt{3}}]$
• C． $（{-∞，\frac{31}{4}}]$
• D． $（{-∞，10-\frac{7}{6}\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 根据x+$\frac{a}{x}$函数的性质可判断当a最小时，x越大函数值越大，当a越大时，x越小函数值越大，只需比较最大的即可．

解答 解：∵对于任意的$a∈[{\frac{1}{2}，2}]$，不等式f（x）≤10在$x∈[{\frac{1}{4}，\sqrt{3}}]$上恒成立，
∴当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）最大值为f（$\sqrt{3}$）=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$+b，
当a=2时，f（x）最大值为f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{33}{4}$+b，
显然$\frac{33}{4}$+b＞$\frac{7\sqrt{3}}{6}$+b，
∴$\frac{33}{4}$+b≤10，
∴b≤$\frac{7}{4}$，
故选A．

点评 本题考查了对抽象函数x+$\frac{a}{x}$的深刻理解和恒成立问题的转换．恒成立问题即最值问题，牢记这一转换．