Question

7．已知等差数列{a_n}的公差d＜0，a₂+a₆=10，a₂a₆=21．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，记数列{b_n}前n项的乘积为T_n，求T_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列式求得首项和公差，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）求出等差数列的前n项和，利用配方法求得前n项和的最大值，则T_n的最大值可求．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+d）+（{a}_{1}+5d）=10}\\{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+5d）=21}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{d=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$（舍）．
∴a_n=a₁+（n-1）d=9-n；
（Ⅱ）${T}_{n}={b}_{1}{b}_{2}…{b}_{n}={2}^{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}={2}^{{S}_{n}}$，
由（Ⅰ）得，${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}=-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{17n}{2}$=$-\frac{1}{2}（n-\frac{17}{2}）^{2}+\frac{289}{8}$，
∴当n=8或n=9时，S_n取到最大值36．
∴T_n的最大值为2³⁶．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．