Question

15．已知函数f（x）的图象在点（x₀，f（x₀））处的切线方程l：y=g（x），若函数f（x）满足?x∈l（其中I为函数f（x）的定义域），当x≠x₀时，[f（x）-g（x）]（x-x₀）＞0恒成立，则称x₀为函数f（x）的“转折点”，若函数f（x）=lnx-ax²-x在（0，e]上存在一个“转折点”，则a的取值范围为（　　）

• A． $[{\frac{1}{{2{e^2}}}，+∞}）$
• B． $（{-1，\frac{1}{{2{e^2}}}}]$
• C． $[{-\frac{1}{{2{e^2}}}，1}）$
• D． $（{-∞，-\frac{1}{{2{e^2}}}}]$

Answer 1

分析 根据已知函数，求出切线方程，构造h（x）=f（x）-g（x），求导，根据导数判断单调性，找到其转折点，并讨论a的取值范围．

解答 解：设f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax-1，则在该切点的切线的斜率k_切=f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}-2a{x}_{0}-1$
所以切线方程为y=g（x）=（$\frac{1}{{x}_{0}}-2a{x}_{0}-1$）（x-x₀）+lnx₀-a${x}_{0}^{2}$-x₀
记$h（x）=f（x）-g（x）=lnx-a{x^2}-x-（\frac{1}{x_0}-2a{x_0}-1）（x-{x_0}）-ln{x_0}+ax_0^2+{x_0}$
显然h（x₀）=0；$h'（x）=\frac{1}{x}-2ax-1-（\frac{1}{x_0}-2a{x_0}-1）=-\frac{2a}{x}（x-{x_0}）（x+\frac{1}{{2a{x_0}}}）$
当a＞0时，h（x）在（0，x₀）上单调递增，在（x₀，+∞）上单调递减，所以h（x）＜h（x₀）=0
因此，当x∈（0，x₀）时[f（x）-g（x）]（x-x₀）＞0；当当x∈（x₀，+∞）时[f（x）-g（x）]（x-x₀）＜0
所以当a＞0时函数f（x）在（0，+∞）上不存在“转折点”．排除选项A、B、C，故选D．
（本题也可以利用二阶导函数为0，求解：$f''（x）=-\frac{1}{x^2}-2a=0$，显然只有当a＜0时有解，其解就为“转折点”横坐标，
故$x=\sqrt{\frac{1}{-2a}}$，由题意$x=\sqrt{\frac{1}{-2a}}∈（0，e]$，所以$\sqrt{\frac{1}{-2a}}≤e$，故$a≤-\frac{1}{{2{e^2}}}$．
故选：D

点评 本题主要根据导数求函数的切线方程和函数单调性，判断函数的转折点，属于中档题．