Question

5．已知实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-6≥0}\\{x-y-2≤0}\\{y≤3}\\{\;}\end{array}\right.$，则变量z=x+y的取值范围为[2，8]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值和最大值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，
由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，
直线y=-x+z的截距最小，此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-6=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，即A（2，0），
代入目标函数z=x+y得z=2．
即目标函数z=x+y的最小值为2．
当直线y=-x+z经过点B时，
直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=3}\end{array}\right.$，即B（5，3），
代入目标函数z=x+y得z=5+3=8．
即目标函数z=x+y的最大值为8．
即z=x+y的取值范围为[2，8]，
故答案为：[2，8]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．