Question

14．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y²-8x+11）+f（x²-6y+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=x²+y²的最小值与最大值的和为62．

Answer 1

分析 可判断f（x）在R上单调递增且是奇函数，从而化简可得（x-4）²+（y-3）²≤4，从而利用几何意义求解．

解答 解：f（x）=x+sinx是奇函数，
且f′（x）=1+cosx≥0，
故f（x）在R上单调递增；
∵f（y²-8x+11）+f（x²-6y+10）≤0，
∴f（y²-8x+11）≤-f（x²-6y+10），
即f（y²-8x+11）≤f（-x²+6y-10），
故y²-8x+11≤-x²+6y-10，
即（x-4）²+（y-3）²≤4，
F（x，y）=x²+y²的几何意义是原点与点（x，y）的距离的平方，
作示意图如图，

结合图象可知，|BC|=5+2=7，A（2，3），
故函数F（x，y）=x²+y²的最小值为2²+3²=13，
最大值为7²=49，故和为13+49=62，
故答案为：62．

点评 本题考查了导数的综合应用，函数的性质的判断与应用，函数与不等式的关系应用及线性规划的变形应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．