Question

【题目】在直角坐标系中，曲线：与直线：交于，两点.

（1）若的面积为，求；

（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求以线段为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，方程为（或）

【解析】

（1）联立直线与抛物线方程，设出，两点坐标，结合韦达定理，由弦长公式求出，由点到直线距离公式求出到的距离，再由即可求出结果；

（2）等价于直线，倾斜角互补，所以只需求出使直线，斜率之和为的点坐标即可，进而可求出结果.

解：（1）将代入，得，

设，，则，，

从而 .

因为到的距离为，

所以的面积 ，

解得.

（2）存在符合题意的点，证明如下：

设为符合题意的点，直线，的斜率分别为，.

从而

.

当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，

故，所以点符合题意.

故以线段为直径的圆的方程为（或）