Question

【题目】已知直线，椭圆分别为椭圆的左、右焦点.

(1)当直线过右焦点时，求椭圆的标准方程；

(2)设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，若点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2)．

【解析】

(1)求出直线与轴的交点坐标，可得，再由椭圆的方程可得，联立方程可求出，从而可得椭圆的标准方程；

(2) 设，，联立直线的方程与椭圆的方程消去，由判别式求出的范围，再利用根与系数关系求出和，根据，可得，，其中点坐标，由两点间距离公式可得，又点在以线段为直径的圆内，故，即，把和结果代入，即可求出实数的取值范围.

解：(1)由已知可得直线与轴的交点坐标，所以①，

又②，由①②解得，，

所以椭圆C的方程为．

(2)设，，

由得，

由，又，解得 ①，

由根与系数关系，得，

由，可得，，

，

设是的中点，则，

由已知可得，即，

整理得，

又，

所以，

所以，

即，

即，所以 ②，

综上所述，由①②得a的取值范围为．