Question

【题目】如图，已知五棱锥P－ABCDE，其中ABE，PCD均为正三角形，四边形BCDE为等腰梯形，BE＝2BC＝2CD＝2DE＝4，PB＝PE＝．

（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面ABCDE；

（Ⅱ）若线段AP上存在一点M，使得三棱锥P－BEM的体积为五棱锥P－ABCDE体积的，求AM的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）AM＝．

【解析】

（1）取CD中点O，根据正三角形性质得,再取BE中点N,根据勾股定理计算得,由线面垂直判定定理得平面,最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先作M到平面的垂线，再根据锥体体积公式计算AM的长．

(1)取CD中点O，BE中点N,连PN,ON.

因为PCD为正三角形，所以，，

因为PB＝PE＝BE＝4，所以，

因为四边形BCDE为等腰梯形，所以，

因为,所以，

因为平面,所以平面,

因为平面，因此平面 平面,

（2）因为ABE为正三角形，四边形BCDE为等腰梯形，所以三点共线，

过M作 于,则,

因为平面,所以平面,

因为三棱锥P－BEM的体积为五棱锥P－ABCDE体积的，

所以

从而