Question

已知函数f(x)=a-

1

|x|

．
（1）求证：y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵（0，+∞）时，f(x)=a-

1

|x|

=a-

1

x

，
∴f′(x)=

1

x2

＞0，
∴y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）函数的定义域：x＞0或x＜0．
当x＞0时，f（x）=a-

1

x

单调递增；当x＜0时，f（x）=a+

1

x

单调递减．
当x＞0时，f（m）=m且f（n）=n且m＜n，即m=a-

1

m

，且n=a-

1

n

，且m＜n，
这个式子等价于方程
x=a-

1

x

有两个不等实根，即二元一次方程x²-ax+1=0有两个正的不等实根，
当x＜0时，f（m）=n且f（n）=m，即a+

1

m

=n，且a+

1

n

=m，且m＜n＜0，
a=n-

1

m

=m-

1

n

．
根据以上情况，有：
①对称轴

a

2

，判别式△=a²-4＞0，且x=0时等式左边=1＞0．解得a＞2．
②a²=nm+

1

mn

-2，
a-a=（n-m）-（

1

m

-

1

n

）=（n-m）-

n-m

mn

=（n-m）（1-

1

mn

）=0，
因为n-m≠0，所以1-

1

mn

=0，即mn=1，所以a²=1+1-2=0
综上所述，a的取值范围是{a|a＞2或a=0}．