Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，
（1）求a、b的值；
（2）设函数f（x）=

g(x)

x

，试判断f（x）在区间[2，3]上的单调性并证明．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）根据函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），可知函数在区间[2，3]上是单调函数，故可建立方程组，从而可求a、b的值；
（2）利用导数判断并证明f（x）在区间[2，3]上的单调递增．

解答： 解：（1）g（x）=ax²-2ax+1+b，函数的对称轴为直线x=1，由题意得：
①

a＞0 g(2)=1+b=1 g(3)=3a+b+1=4

得a=1，b=0；
②

a＜0 g(2)=1+b=4 g(3)=3a+b+1=1

得a=-1，b=3＞1（舍去）
∴a=1，b=0；
（2）g（x）=x²-2x+1，f（x）=

g(x)

x

=x+

1

x

-2，
∴f′（x）=1-

1

x2

，
∵x∈[2，3]，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在区间[2，3]上的单调递增．

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，考查函数与方程思想，属于中档题．