Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是线段EF的中点．
（Ⅰ）求三棱锥A-BDF的体积；
（Ⅱ）求证：AM∥平面BDE；
（Ⅲ）求异面直线AM与DF所成的角．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）根据三棱锥的条件公式即可求三棱锥A-BDF的体积；
（Ⅱ）根据线面平行的判定定理即可证明AM∥平面BDE；
（Ⅲ）根据异面直线所成角的定义即可求异面直线AM与DF所成的角．

解答： 解：（Ⅰ） 三棱锥A-BDF的体积为VA-BDF=VF-ABD=

1

3

•SABD•|AF|=

1

3

，…（4分）
（Ⅱ） 证明：连接BD，BD∩AC=O，连接EO．…..（5分）
∵E，M为中点，且ACEF为矩形，
∴EM∥OA，EM=0A，…（6分）
∴四边形EOAM为平行四边形，
∴AM∥EO，…（7分）
∵EO?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE． …（9分）
（Ⅲ）过点M作MG∥DF，则∠AMG为异面直线DF与AM所成的角，…（10分）
∵M为中点，
∴点G为线段DE的中点，
∴MG=

1

2

DF=

3

2

，…（11分）
连接AG，过G作GH∥EC，则H为DC的中点，
∴GH=

1

2

CE=

1

2

，HA=

10

2

，则AG=

11

2

，…（13分）
在△AMG中，AG=

11

2

，MG=

3

2

，AM=

2

，
∴AG²=MG²+AM²，
∴异面直线DF与AM所成的角为

π

2

． …（14分）

点评：本题主要考查空间位置关系的判断以及异面直线所成角的求解，要求熟练掌握相应的判定定理．