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已知a∈R,函数f(x)=ln(x+1)-x2+ax+2.
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为减函数,求实数a的取值范围;
(2)令a=-1,b∈R,已知函数g(x)=b+2bx-x2.若对任意x1∈(-1,+∞),总存在x2∈[-1,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,求实数b的取值范围.
【答案】分析:(1)本题知道了函数在(0,1)上是增函数,求a范围,可以转化为f'(x)<0在(1,+∞)上恒成立,由此求解参数范围即可;
(2)分类讨论求出函数g(x)的最小值,使g(x)的最小值恒小于等于f(x)的最小值,从而求出a的取值范围
解答:解:(1)函数f(x)在[1,+∞)上为减函数⇒f′(x)=-2x+a≤0
在[1,+∞)上恒成立⇒a≤2x-在[1,+∞)上恒成立,
令h(x)=2x-,由h′(x)>0(或利用增函数减减函数)⇒h(x)在[1,+∞)上为增函数⇒h(x)min=h(1)=
所以a≤

(2)若对任意x1∈[-1,+∞),总存在x2∈[-1,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则函数f(x)在(-1,+∞)上的值域是函数g(x)在[-1,+∞)上的值域的子集.对于函数f(x),因为
a=-1,所以f(x)=ln(x+1)-x2-x+2,定义域(-1,+∞)
f′(x)=-2x-1=
令f′(x)=0得x1=0x2=(舍去).
当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:

所以f(x)max=f(0)=2⇒所以f(x)的值域为(-∞,2)
对于函数g(x)=-x2+2bx+b=-(x-b)2+b+b2
①当b≤-1时,g(x)的最大值为g(-1)=-1-b⇒g(x)值域为(-∞,-1-b]
由-1-b≥2⇒b≤3;
②当b>-1时,g(x)的最大值为g(b)=b2+b⇒g(x)值域为(-∞,b2+b]
由b2+b≥2⇒b≥1或b≤-2(舍去),
综上所述,b的取值范围是(-∞,-3]∪[1.+∞).
点评:本题主要考查了函数的最值及其几何意义,以及分类讨论的思想,解题的关键是对于恒成立的理解,是一道综合题
练习册系列答案
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已知a∈R,函数f(x)=
1
12
x3+
a+1
2
x2+(4a+1)x

(Ⅰ)如果函数g(x)=f′(x)是偶函数,求f(x)的极大值和极小值;
(Ⅱ)如果函数f(x)是(-∞,?+∞)上的单调函数,求a的取值范围.

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(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为减函数,求实数a的取值范围;
(2)令a=-1,b∈R,已知函数g(x)=b+2bx-x2.若对任意x1∈(-1,+∞),总存在x2∈[-1,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,求实数b的取值范围.

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已知a∈R,函数f(x)=
a
x
+lnx-1,g(x)=(lnx-1)
e
x
 
+x
(其中e为自然对数的底).
(1)当a>0时,求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值;
(2)是否存在实数x0∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在求出x0的值,若不存在,请说明理由.

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(2013•太原一模)已知a∈R,函数 f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为
3x+y=0
3x+y=0

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(2013•浙江)已知a∈R,函数f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.

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