Question

设a＞1，定义f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，如果对任意的n∈N^*且n≥2，不等式12f（n）+7log_ab＞7+7log_a+1b恒成立，则实数b的取值范围是（　　）

• A、(2，

  29

  17

  )
• B、（0，1）
• C、（0，4）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：由不等式12f（n）+7log_ab＞7log_a+1b+7恒成立这条件转化化为“f（n）＞t”这个形式，要求t，先求f（n）的最小值，最后就是利用a与b的关系求出b的范围．

解答： 解：由f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，知，f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2(n+1)

，
∴f（n+1）-f（n）=

1

2n+2

+

1

2n+1

-

1

n+1

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，
∴f（n）是递增数列．
∴当n≥2时，f（n）的最小值是f（2）=

7

12

，
要使对任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7log_ab＞7log_a+1b+7恒成立，
则满足12•

7

12

+7log_ab＞7log_a+1b+7，
即log_ab＞log_a+1b，
即

lgb

lga

＞

lgb

lg(a+1)

，
∴lgb

lg(a+1)-lga

lgalg(a+1)

＞0，
∵a＞1，∴

lg(a+1)-lga

lgalg(a+1)

＞0，
∴lgb＞0，即b＞1．
故选D．

点评：本题考查了数列的单调性，及不等式恒成立问题的常规解法，一般都是转化为求函数的最值来解决，属于难题．