Question

实数x＞0，y＞0，且x²+y²=1，则（x+

1

x

）（y+

1

y

）的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：实数x＞0，y＞0，且x²+y²=1，可设x=cosθ，y=sinθ，θ∈(0，

π

2

)．于是（x+

1

x

）（y+

1

y

）=x+y+

y

x

+

x

y

=sinθ+cosθ+

1

sinθcosθ

，令sinθ+cosθ=t=

2

sin(θ+

π

4

)∈(1，

2

]，可得（x+

1

x

）（y+

1

y

）=t+

1

t2-1

=t+

1

t-1

-

1

t+1

=f（t），利用导数研究其单调性即可得出．

解答： 解：∵实数x＞0，y＞0，且x²+y²=1，
∴可设x=cosθ，y=sinθ，θ∈(0，

π

2

)．
则（x+

1

x

）（y+

1

y

）=x+y+

y

x

+

x

y

=sinθ+cosθ+

sinθ

cosθ

+

cosθ

sinθ

=sinθ+cosθ+

1

sinθcosθ

，
令sinθ+cosθ=t=

2

sin(θ+

π

4

)∈(1，

2

]，
∴t²=1+2sinθcosθ，解得sinθcosθ=

t2-1

2

，
∴（x+

1

x

）（y+

1

y

）=t+

1

t2-1

=t+

1

t-1

-

1

t+1

=f（t），
∴f′（t）=1--

1

(t-1)2

-

1

(t+1)2

=

t4-4t2-1

(t2-1)2

＜0，
∴函数f（t）在t∈(1，

2

]上单调递减，
∴当t=

2

时，函数f（t）取得最小值，f(

2

)=

2

+1．
故答案为：

2

+1．

点评：本题考查了“三角函数代换”方法、利用导数研究函数的单调性极值、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．