【题目】已知a∈R,函数f(x)=(﹣x2+ax)ex , (x∈R,e为自然对数的底数)
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间.
(2)函数f(x)是否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由.
【答案】
(1)解:当a=2时,f(x)=(﹣x2+2x)ex,
∴f′(x)=﹣(x2﹣2)ex
令f′(x)>0,得x2﹣2<0,
∴﹣ <x<
∴f(x)的单调递增区间是(﹣ ,
)
(2)解:∵f′(x)=[﹣x2+(a﹣2)x+a]ex,
记g(x)=﹣x2+(a﹣2)x+a,
∴△=(a﹣2)2+4a=a2+4>0,
∴x∈R时,g(x)的值有正有负,
而x∈R时,ex>0恒成立,
于是x∈R时,f′(x)的值有正有负,
故函数f(x)的不是R上的单调函数
【解析】(1)求导函数,令f′(x)>0,可得f(x)的单调递增区间,(2),求导函数,判断出f′(x)的值有正有负,故函数f(x)的不是R上的单调函数.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减.
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【题目】某商场举行购物抽奖活动,抽奖箱中放有除编号不同外,其余均相同的20个小球,这20个小球编号的茎叶图如图所示,活动规则如下:从抽奖箱中随机抽取一球,若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数,则为一等奖,奖金100元;若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数,则为二等奖,奖金50元;若抽取的小球是其余编号则不中奖.现某顾客有放回的抽奖两次,两次抽奖相互独立. (I)求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率;
(Ⅱ)记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
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【题目】已知曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,有曲线C2:ρ=2cosθ-4sinθ
(1)将C1的方程化为普通方程,并求出C2的平面直角坐标方程
(2)求曲线C1和C2两交点之间的距离.
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【题目】如图是y=f(x)的导函数的图象,现有四种说法: 1)f(x)在(﹣2,1)上是增函数;
2)x=﹣1是f(x)的极小值点;
3)f(x)在(﹣1,2)上是增函数;
4)x=2是f(x)的极小值点;
以上说法正确的序号是 .
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【题目】已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间;
(2)求使f(x)≥3成立的x的取值集合.
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【题目】如图y=f(x)的导函数的图象,现有四种说法:
(1)f(x)在(﹣3,1)上是增函数;
(2)x=﹣1是f(x)的极小值点;
(3)f(x)在(2,4)上是减函数,在(﹣1,2)上是增函数;
(4)x=2是f(x)的极小值点;
以上正确的序号为( )
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(3)(4)
D.(4)
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