Question

【题目】已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）求使f（x）≥3成立的x的取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x

=sin2x+cos2x+2sinxcosx+2cos2x

=1+sin2x+1+cos2x

= sin（2x+ ）+2，

∴f（x）的最小正周期为T= =π；

令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得 +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，

∴f（x）的单调递减区间是：[ +kπ， +kπ]，k∈Z；

（2）解：∵f（x）≥3，∴ sin（2x+ ）+2≥3，

解得sin（2x+ ）≥ ，

∴ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得kπ≤x≤ +kπ，k∈Z；

所求的集合为：[kπ， +kπ]，k∈Z．

【解析】（1）利用三角恒等变换化简f（x），根据正弦函数的图象与性质求出f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）利用f（x）的解析式，解三角函数不等式即可．