Question

【题目】如图：在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为 的等腰三角形．
（1）求二面角V﹣AB﹣C的平面角的大小；
（2）求四棱锥V﹣ABCD的体积．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AB的中点M，CD的中点N，连MN、VM、VN，

∵底面ABCD是边长为2的正方形，∴MN⊥AB，MN=2

又∵VA=VB= ，M为AB的中点，∴VM⊥AB

∴∠VMN是二面角V﹣AB﹣C的平面角

在Rt△VAM中，AM=1，VA= ，

∴VM= =2，同理可得VN=2

∴△VMN是正三角形，可得∠VMN=60°

即二面角V﹣AB﹣C的大小为60°

（2）解：由（1）知AB⊥平面VMN

∵AB平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面VMN

过V作VO⊥MN于点O，

∵平面ABCD⊥平面VMN，平面ABCD∩平面VMN=MN，VO平面VMN

∴VO⊥平面ABCD，得VO是四棱锥V﹣ABCD的高

∵VM=MN=NV=2，∴VO=

因此，四棱锥V﹣ABCD的体积为

V= SABCD×VO= =

【解析】（1）取AB的中点M，CD的中点N，连MN、VM、VN．利用正方形的性质和等腰三角形的“三线合一”，证出MN⊥AB且VM⊥AB，得到∠VMN是二面角V﹣AB﹣C的平面角．再根据题中数据算出△VMN是正三角形，得∠VMN=60°，即得二面角V﹣AB﹣C的大小；（2）过V作VO⊥MN于点O，利用面面垂直的性质与判定证出VO⊥平面ABCD，得VO是四棱锥V﹣ABCD的高．正三角形△VMN中算出VO的长，结合锥体的体积公式和题中的数据，即可得到四棱锥V﹣ABCD的体积．