Question

1．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos xsin x-$\frac{1}{2}$cos 2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值、最小值及此时相应自变量x的取值．

Answer 1

分析 （1）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出f（x）的范围，再结合三角函数的图象和性质求最大值、最小值及此时相应自变量x的取值．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$cos xsin x-$\frac{1}{2}$cos 2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2x-$\frac{1}{2}$cos 2x
=cos$\frac{π}{6}$sin 2x-sin$\frac{π}{6}$cos 2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
（1）f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
即函数f（x）的最小正周期为π．
（2）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$．
由正弦函数的性质，可知：
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值，即$f（x）_{max}=sin\frac{π}{2}=1$，
∴f（x）取得最大值1；
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0时，f（x）取得最小值，即$f（x）=sin（-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{2}$
∴f（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$．
因此，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是1，此时x=$\frac{π}{3}$；最小值是$-\frac{1}{2}$，此时x=0．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．