Question

13．正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，在此棱柱内放入一个半径为1的小球，当小球在棱柱内部自由运动时，则在棱柱内部小球所不能到达的空间的体积为24-$\frac{7π}{3}$．

Answer 1

分析 小球在盒子不能到达的空间要分以下几种情况，在正四棱柱顶点处的小正方体中，其体积等于小正方体体积减球的体积，在以正四棱柱的棱为一条棱的4个四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为4×[2×2×1-（$\frac{1}{4}$×π×1²×1）]=16-π，其他空间小球均能到达，综合后即可得到结果．

解答 解：在正四棱柱的8个顶点处的单位立方体空间内，
小球不能到达的空间为：8（1-$\frac{1}{8}×\frac{4}{3}×π×{1}^{3}$）=8-$\frac{4}{3}$π，
除此之外，在以正四棱柱的棱为一条棱的4个四棱柱空间内，
小球不能到达的空间共为4×[2×2×1-（$\frac{1}{4}$×π×1²×1）]=16-π．
其他空间小球均能到达．
故小球不能到达的空间体积为：8-$\frac{4}{3}$π+16-π=24-$\frac{7π}{3}$．
故答案为：24-$\frac{7π}{3}$．

点评 本题考查了球的体积，棱柱的体积，其中熟练掌握棱柱和不规则几何题的结构特征，建立良好的空间想象能力是解答本题的关键．