Question

15．若函数f（x）=ax-lnx在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$处取得极值，则实数a的值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$处取得极值，则f′（0）=0，求出a的值，然后验证即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax-lnx，
∴函数的定义域为（0，+∞）．      
∴f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$．     
∵f（x）在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$处取得极值，
即f′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=a-$\sqrt{2}$=0，
∴a=$\sqrt{2}$．                                                     
当a=$\sqrt{2}$时，在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）内f′（x）＜0，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）内f′（x）＞0，
∴x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$是函数y=f（x）的极值点．
∴a=$\sqrt{2}$．   
故选：A

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，关键需要验证，属于基础题．