Question

5．设f（x）=$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$（m＞0，n＞0）．
（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）设f（x）是奇函数，求m与n的值；
（3）在（2）的条件下，求不等式f（f（x））+f（$\frac{3}{10}$）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）通过当m=n=1时，化简f（x），通过求解f（-1）≠-f（1），证明f（x）不是奇函数．
（2）通过f（-x）=-f（x），通过待定系数法求解即可．
（3）判断f（x）是R上单调减函数．利用单调性转化求解不等式即可．

解答 （1）证明：当m=n=1时，f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+1}$．
由于f（1）=$\frac{-2+1}{{2}^{2}+1}$=-$\frac{1}{5}$，f（-1）=$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+1}$=$\frac{1}{4}$，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数．
（2）解：f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），
即$\frac{-{2}^{-x}+m}{{2}^{-x+1}+n}$=-$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$，对定义域内任意实数x成立．
化简整理得（2m-n）•2^2x+（2mn-4）•2^x+（2m-n）=0，这是关于x的恒等式，
所以2mn-4=0，2m-n=0解得n=-2或n=2．
经检验m=1，n=2符合题意．
（3）解：由（2）可知，f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$，
易判断f（x）是R上单调减函数．
由f（f（x））+f（$\frac{3}{10}$）＜0，得
f（f（x））＜f（$\frac{3}{10}$），f（x）＞-$\frac{3}{10}$，2^x＜4，得x＜2
即f（x）＞0的解集为（-∞，2）．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．