Question

10．已知{a_n}的前n项和为S_n，且满足点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函数f（x）=40-x上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）n为何值时，S_n的值最大，并求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函数f（x）=40-x上，得到S_n=40n-n²，再根据的递推公式得到数列{a_n}的通项公式，
（2）由（1）得S_n=40n-n²=-（n-20）²+400，根据二次函数的性质即可求出．

解答 解：（1）点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函数f（x）=40-x上，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=40-n，
∴S_n=40n-n²，
当n=1时，S₁=40-1²=39，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=（40n-n²）-[40（n-1）-（n-1）²]=-2n+41，
当n=1时，成立，
∴a_n=-2n+41
（2）由（1）得S_n=40n-n²=-（n-20）²+400，
当n=20时，S_n的值最大，S_n的最大值为400

点评 本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项公式，解题的关键是掌握数列求通项的方法，属于中档题