Question

11．设椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在该椭圆上，则使得△F₁F₂P是等腰三角形的点P的个数是6．

Answer 1

分析 如图所示，①当点P与短轴的顶点重合时，△F₁F₂P构成以F₁F₂为底边的等腰三角形，此时有2个．
②当△F₁F₂P构成以F₁F₂为一腰的等腰三角形时，共有4个．

解答 解：如图所示，
①当点P与短轴的顶点重合时，
△F₁F₂P构成以F₁F₂为底边的等腰三角形，
此种情况有2个满足条件的等腰△F₁F₂P；
②当△F₁F₂P构成以F₁F₂为一腰的等腰三角形时，共有4个．
以F₂P作为等腰三角形的底边为例，
∵F₁F₂=F₁P，
∴点P在以F₁为圆心，半径为焦距2c的圆上
因此，当以F₁为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，
存在2个满足条件的等腰△F₁F₂P．
同理可得：当以F₂为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F₁F₂P．
综上可得：满足条件的使得△F₁F₂P是等腰三角形的点P的个数为6．
故答案为：6．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、等腰三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．