Question

多面体ABCDEF的直观图及三视图分别如图所示，已知点M在AC上，点N在DE上，且AM：MC=DN：NE=a

   （1）求证：MN//平面BCEF；

   （2）当a=1时，求二面角D―MN―F的余弦值的绝对值。

           

Answer 1

解：（1）由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ABF―DCE。

且AB=BC=AF=2，CE=BF=，∠BAF=90°

在CD上取一点G，DG：GC=DN：NE，连MG、NG。则

∵AM：MC=DN：NE=a，

∴NG//CE，MG//BC。

∴平面MNG//平面BCEF。

∴MN//平面CDEF。

（2）∵a=1

∴M、N分别是AC、CE的中点。

以AB、AF、AD分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则有关各点的坐标分别是D（0，0，2），F（0，2，0），M（1，1），N（0，1，2）

∴

设平面DMN的法向量

∴

∴

∴

设平面MNF的法向量为

∴

∴

设二面角D―MNF的平面角为，

则

∴二面角D―MN―F的余弦值的绝对值为。