Question

设[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[-2.3]=-3．给出下列命题：
①对任意实数x，都有x-1＜[x]≤x；
②对任意实数x，y，都有[x+y]≤[x]+[y]；
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90；
④若函数f（x）=[x•[x]]，当x∈[0，n）（n∈N^*）时，令f（x）的值域为A，记集合A的元素个数为a_n，则

an+49

n

的最小值为

19

2

．
其中所有真命题的序号是______．

Answer 1

对于①，对任意实数x，都有x-1＜[x]≤x，满足新定义，∴①正确．
对于②，对任意实数x，y，例如x=-0.1，y=-0.1，[x+y]=-1，[x]+[y]=-2；都有[x+y]≤[x]+[y]；不正确，∴②错误．
对于③，[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg100]
=[lg1]+…+[lg9]+[lg10]+…+[lg99]+[lg100]
=0+1×90+2=92，∴③不正确．
对于④，根据题意：[x]=

0，x∈[0，1) 1，x∈[1，2) … n-1，x∈[n-1，n)

∴x[x]=

0，x∈[0，1) x，x∈[1，2) … (n-1)x，x∈[n-1，n)

∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n
∴a_n=

n(n-1)

2

+1
∴

an+49

n

=

1

2

n+

50

n

-

1

2

，所以当n=10时，最小值为

19

2

．
∴④正确．
故答案为：①④．