Question

【题目】在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产.某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为

其中0＜a＜1，0＜b＜1.

（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；

（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X（单位：元），

（i）设X＝5500时的概率为m，求当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望；

（ii）设某数列{xn}满足x1＝0.4，xn＝a，2xn+1＝b，若a＜0.25，求n的最小值.

Answer 1

【答案】（1）0.432（2）（i）详见解析（ii）2

【解析】

（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率为P.由题可知：a+b＝0.6，然后求解即可.

方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，利用相互独立事件乘法乘积求解概率即可.

（2）（ⅰ）由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000.求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.

（ⅱ）由题可得xn+2xn+1＝a+b＝0.6，得到，判断数列{xn﹣0.2}是等比数列，然后分类求解n的最小值.

（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率为P.

由题可知：a+b＝0.6，

则P＝3×0.4×（a2+2ab+b2）＝0.4×（a+b）2＝0.4×0.62＝0.432.

方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，所以P＝3×0.4×（1﹣0.4）×（1﹣0.4）＝0.432.

（2）（ⅰ）由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000.

P（X＝4000）＝0.4×0.4＝0.16，P（X＝4500）＝2×0.4×a＝0.8a，

P（X＝5000）＝a2+2×0.4×b＝a2+0.8b，

P（X＝5500）＝2ab，P（X＝6000）＝b2，

所以，

取最大值的条件为a＝b＝0.3

所以分布列为：

∴E（X）＝4000×0.16+4500×0.24+5000×0.33+5500×0.18+6000×0.09＝4900.

（ⅱ）解：由题可得xn+2xn+1＝a+b＝0.6，所以，

化简得，即{xn﹣0.2}是等比数列，首项为x1﹣0.2＝0.2，公比为，

所以，化简得

由题可知：

①由题可知：，显然对所有n∈N*都成立；

②，也是对所有n∈N*都成立；

③.

当n为偶数时，上述不等式恒成立；

当n为奇数时，，解得n＞3.即n≥5

综上所述，n的最小值为2.