Question

【题目】在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数).点P为曲线E上的动点，点Q为线段OP的中点.

（1）求点Q的轨迹(曲线C)的直角坐标方程；

（2）若直线l交曲线C于A，B两点，点恰好为线段AB的三等分点，求直线l的普通方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）设点Q，P的极坐标分别为，，由题意可得，由极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得解；

（2）直线参数方程代入曲线C的方程得，化简后利用韦达定理结合题意即可得解.

（1）设点Q，P的极坐标分别为，，

则且，，

所以，

所以点Q轨迹的极坐标方程为，

故Q轨迹的直角坐标方程为；

（2）由（1）得曲线C的直角坐标方程为，

将直线参数方程代入曲线C的方程得，

即，，

由点恰好为线段AB的三等分点，不妨设方程两根为，

所以，即，所以，

又与在一、三象限同号，二、四象限异号，

所以直线的斜率，又直线过，

故直线的普通方程为或.