Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，a₁＞0，S₁，S₂，S₃成等差数列，16是a₂和a₈的等比中项．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列{b_n}中，b₁=1，前9项和等于27，令c_n=2a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）直接利用前n项和公式及等比中项求出数列的通项公式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论及等差数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出新数列的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，a₁＞0，S₄，S₂，S₃成等差数列，
则：2S₂=S₃+S₄
2

a1(1-q2)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q4)

1-q

解得：q=-2或1（舍去）
由于：16是a₂和a₈的等比中项
a2a8=162
解得：a₁=1
所以：an=a1qn-1=(-2)n-1
（Ⅱ）等差数列{b_n}中，设公差为d，b₁=1，前9项和等于27．
则：S9=9b1+

9×8

2

d=27
解得：d=

1

2

所以：bn=

n+1

2

令c_n=2a_nb_n=2(-2)n-1

n+1

2

=（n+1）（-2）^n-1
T_n=c₁+c₂+…+c_n-1+c_n=2•（-2）⁰+3•（-2）¹+…+（n+1）（-2）^n-1①
-2T_n=2•（-2）¹+3•（-2）²+…+（n+1）（-2）ⁿ②
①-②得：3Tn=2+[(-2)1+(-2)2+…+(-2)n-1]-（n+1）（-2）ⁿ
解得：Tn=

4

9

-

n

9

(-2)n

点评：本题考查的知识要点：等比数列通项公式和前n项和公式，等差数列的通项公式和前n项和公式，利用乘公比错位相减法求数列的和及相关的运算问题