Question

已知S是△ABC所在平面外一点，∠ASC=90°，∠ASB=∠BSC=60°，且SA=SB=SC．
（1）求证：平面SAC⊥平面ABC；
（2）求二面角B-AS-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：对第（1）问，取AC的中点O，连结BO，SO，则∠BOS为二面角B-AC-S的平面角，只需计算出S0，BO，由勾股定理的逆定理可判断∠BOS=90°，即可得证．
对第（2）问，取AS的中点M，连结MO，MB，先证明∠BMO为二面角B-AS-C的平面角，再解△BMO即可．

解答： 解：（1）证明：取AC的中点O，连结BO，SO，设SA=SB=SC=1，
由条件易知，SO⊥AC，AC=

2

，SO=

1

2

AC=

2

2

，AB=BC=SA=1．
由AB²+BC²=AC²知，AB⊥BC，
∴BO⊥AC，且BO=

1

2

AC=

2

2

，∴SO²+BO²=SB²，
∴二面角B-AC-S的平面角∠BOS=90°，即平面SAC⊥平面ABC．
（2）取AS的中点M，连结MO，MB，由（1）知，△SAB与△SBC为全等的正三角形，
∴SA⊥MB，SA⊥MO，故∠BMO为二面角B-AS-C的平面角．
又由BO⊥AC及BO⊥SO，得BO⊥平面SAC，
在△BMO中，易得MO=

2

2

，MB=

3

2

，∴cos∠BMO=

MO

MB

=

6

3

．

点评：本题考查了面面垂直的判定方法及二面角大小的求法，本题使用的均为定义法，其一般步骤分别为：
1．利用定义法证明面面垂直：第一步，作出二面角的平面角；第二步，证明此平面角为90°，即可下结论．
2．利用定义法求二面角的大小：
第一步，作出二面角的平面角，即在二面角的棱上取一点，过该点分别在两个半平面内作棱的垂射线；
第二步，将此平面角放在一个三角形中，解此三角形即可．