Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的一条直线与抛物线相交，交点为A、B．过AB的中点M作x轴的平行线交抛物线的准线于点C．求证：AC⊥BC．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：向量与圆锥曲线

分析：证AC⊥BC，即证

AC

⊥

BC

，即证

AC

•

BC

=0，设出点的坐标，将直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理，即可证明．

解答： 解：如图：

①当直线AB的斜率不存在时，F（

p

2

，0），直线AB方程为x=

p

2

，则C（-

p

2

，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意得

x= p 2 y2=2px

消去x得y²=p²，∴y₁=-p，y₂=p，A（

P

2

，-P），B（

P

2

，P），∴

AC

=(-p，p)，

BC

=(-p，-p)，
∴

AC

•

BC

=0，∴AC⊥BC．
②当当直线AB的斜率存在时，F（

p

2

，0），设直线AB方程为y=k（x-

p

2

），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则C（-

p

2

，

y1+y2

2

），由题意得

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消去y得，k2x2-(k2p+2p)x+

k2p2

4

=0，∴x₁+x₂=

k2p+2p

k2

，x₁x₂=

p2

4

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-kp=

2p

k

，y₁y₂=-p²，
∴

AC

=(-

p

2

-x1，

y2-y1

2

)，

BC

=(-

p

2

-x2，

y1-y2

2

)，
∴

AC

•

AB

=（

p

2

+x1）（

p

2

+x2）-

(y1-y2)2

4

=

p2

4

+

p

2

(x1+x2)+x1x2-

(y1+y2)2-4y1y2

4

=0
∴AC⊥BC．
综上所述；AC⊥BC．

点评：本题主要考查直线与双曲线的位置关系及向量垂直的充要条件等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及等价转化能力、运算求解能力，属于难题．