Question

4．已知函数$f（x）=\frac{{a•{2^x}-2+a}}{{{2^x}+1}}，\;\;a∈R$．
（1）试判断f （x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若f （x）为定义域上的奇函数，求函数f （x）的值域．

Answer 1

分析 （1）f （x）是增函数，利用单调性的定义进行证明；
（2）先求出a，再求函数f （x）的值域．

解答 解：（1）f （x）是增函数．
证明如下：函数f （x）的定义域为（-∞，+∞），且$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则$f（{x_2}）-f（{x_1}）=a-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}-a+\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}=\frac{{2（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）}}{{（{2^{x_2}}+1）（{2^{x_1}}+1）}}$．
∵y=2^x在R上单调递增，且x₁＜x₂，
∴$0＜{2^{x_1}}＜{2^{x_2}}，{2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0，{2^{x_1}}+1＞0，{2^{x_2}}+1＞0$，
∴f （x₂）-f （x₁）＞0，即f （x₂）＞f （x₁），
∴f （x）在（-∞，+∞）上是单调增函数．
（2）∵f （x）是定义域上的奇函数，∴f （-x）=-f （x），
即$a-\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}+（a-\frac{2}{{{2^x}+1}}）=0$对任意实数x恒成立，化简得$2a-（\frac{{2•{2^x}}}{{{2^x}+1}}+\frac{2}{{{2^x}+1}}）=0$，
∴2a-2=0，即a=1．（也可利用f （0）=0求得a=1）∴$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，
∵2^x+1＞1，∴$0＜\frac{1}{{{2^x}+1}}＜1$，∴$-2＜-\frac{2}{{{2^x}+1}}＜0$，∴$-1＜1-\frac{2}{{{2^x}+1}}＜1$．
故函数f （x）的值域为（-1，1）．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．