Question

17．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{36}{{4{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$；
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．

Answer 1

分析 （1）ρ²=$\frac{36}{{4{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，去分母，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求曲线C的直角坐标方程；
（2）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，利用椭圆的参数方程，结合三角函数知识求3x+4y的最大值．

解答 解：（1）ρ²=$\frac{36}{{4{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，去分母，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）设$P（3cosθ，2sinθ）⇒3x+4y=9cosθ+8sinθ=\sqrt{145}sin（θ+ϕ）$，
$⇒{（3x+4y）_{max}}=\sqrt{145}$．

点评 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查椭圆参数方程的运用，属于中档题．