Question

已知函数f（x）=x³-（a+1）x²-4（a+5）x，g（x）=5lnx+ax²-x+5，其中a∈R。
（Ⅰ）若函数f（x），g（x）有相同的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若存在两个整数m，n，使得函数f（x），g（x）在区间（m，n）上都是减函数．求n的最大值，及n取最大值时a的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得 f'（x）=x²-（a+1）x-4（a+5），
g'（x）=+ax-1=
令
由①得x=-4或x=a+5，
由③知，只能a+5>0，即a>-5，
把x=a+5代人②，
解得a=0或a=-4或a=-6（舍去），
经检验，当a=0或a=-4时，函数f（x），g（x）有相同的极值点，
所以，a的值为0或-4；
（Ⅱ）由得得，
设g'（x）<0，即ax²-x+5<0的解集为M，及 N=（0，a+5），
则由题意得区间（m，n）M∩N，
令h（x）=ax²-x+5，
①当a<0时，因为h（0）=5>0，
故只能h（a+5）=a[（a+5）²-1] <0，
即a>-4或a<-6，又因为a>-5，
故-4＜a＜0，此时n≤a+5<5，
又m，n∈Z，所以m＜n≤4，
当且仅当，即-1≤a≤时，n可以取4，
所以，n的最大整数为4；
②当a=0时，M∩N=，不合题意；
③当a>0时，因为，h（0）=5>0，
h（a+5）=a[（a+5）²-1]>0，
故只能，无解，
综上，n的最大整数为4，此时a的取值范围为。