Question

15．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x-4y+4=0与圆C相切．
（I）求圆C的方程；
（II）过点Q（0，-3）的直线l与圆C交于不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）利用切线的性质列方程解出圆心坐标即可得出圆的方程；
（II）设直线l斜率为k，联立方程组，利用根与系数的关系计算x₁x₂，y₁y₂，根据数量积公式列方程解出k得出直线l的方程．

解答 解：（I）设圆C的圆心为C（a，0），
则C到直线3x-4y+4=0的距离等于圆的半径，
∴$\frac{|3a+4|}{\sqrt{9+16}}$=2，解得a=2或a=-$\frac{14}{3}$（舍）．
∴圆C的方程为（x-2）²+y²=4．
（II）若直线l无斜率，则直线l方程为x=0，与圆C相切，不符合题意；
若直线l有斜率，设直线l的方程为y=kx-3，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²-（4+6k）x+9=0，
∵直线l与圆有两个交点，
∴△=（4+6k）²-36（1+k²）＞0，解得k＞$\frac{5}{12}$．
由根与系数的关系可得：x₁+x₂=$\frac{4+6k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{1+{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁-3）（kx₂-3）=k²x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=$\frac{9{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$-$\frac{12k+18{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+9=$\frac{9-12k}{1+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3，
∴x₁x₂+y₁y₂=3，即$\frac{9}{1+{k}^{2}}$+$\frac{9-12k}{1+{k}^{2}}$=3，解得k=1或k=-5（舍）．
∴直线l的方程为y=x-3．

点评 本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，距离公式的应用，属于中档题．